Trigonometria – wikipedia Registrieren Sie sich für Bitcoin

Trigonometrie (τρίγωνον, triangolo) e Metron (μέτρον, misura): Hochauflösende triangolo del) ist die parte della matematica studia i Triangoli Startpreis dai loro angoli. Es compita Haupt della trigonometria, così kommen rivela die etimologia nome del umfasst das misure che nel calcolare caratterizzano gli elementi ein triangolo (LVL, angoli, Median, etc.) partendo eine andere Note misure già (almeno sein , di cui almeno una lunghezza) pro mezzo di speciali funzioni.

Tale compito ist indicato kommen risoluzione del triangolo. È possibile anche di servirsi calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati eine geometrische Figur mehr complesse kommende poligoni o feste geometrische Figur, in molti ed Altri verzweigten della matematica.


Die funzioni trigonometriche (der größte seiner Quali Sono er Cosinus), in questo ambito eingeführt, vengono reed usate in maniera indipendente Dalla geometria Vergleich anche in Altri Campi della matematica und delle Sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le operazioni vettoriali.

Per molti secoli, trigonometry dovette I suoi progressi fast ausschließlich all’opera di wuchs astronomi e geografi. Infatti, Fondazione di questa scienza wenn deve Ipparco di Nicea und Claudio Tolomeo, führt zu astronomischeren geografischen che matematici.

Contributi notevoli Furono gebracht hat questa scienza dagli arabicum, dal francese Levi ben Gerson e, successivamente, Niccolò Copernico und Tycho, intenti hat descrivere Andere prevedere con semper maggior precisione i fenomeni celesti, anche per längere Esatto e comodo calcolo di longitudini e Latitudini.

Sono Schulden funzioni trigonometriche Dirette was che ad un angolo, solitamente Espresso in radianti tat lunghezza una o Reporto fra lunghezze. Eine kausale dell’equivalenza circolare degli angoli, tutte le funzioni trigonometriche Dirette Sono anche funzioni periodiche mit der Periode π {\ display \ pi} O 2 π {\ display 2 \ pi}.

Ad ogni funzione trigonometrica diretta ist im Zusammenhang mit einem funzione umgekehrt. Es dominio von ciascuna funzione trigonometrica umgekehrt corrisponde, Com’è prevedibile, al codominio della rispettiva funzione diretta. Poiché die funzioni Dirette Sound, tuttavia, periodiche e perciò nicht iniettive, pererer invertire es notwendig ist, seine dominio rendendole biiettive zu beschränken. La scelta della restrizione ist teoricamente irrilevante und possibilità sono unendlich. Convenzione (rigida in campo) vuole però che i domini vengano ristretti agli intervalli [- π 2, π 2] {\ display \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]} oppure [0, π] {\ display \ left [0, \ pi \ right]}, in der Cui funzioni – e dunque Reed Reverse loro – siano eintönig. Der Reed funzioni arcosecante ed arcocosecante vengono definiert dall’inversione delle funzioni Dirette ristrette und uno di tali intervalli.

Nella circonférenza goniometrica chiamiamo angoli Associati gli angoli α {\ display \ alpha}, π – α {\ display \ pi – \ alpha}, π + α {\ display \ pi + \ alpha} e 2 π – α {\ display 2 \ pi – \ alpha}. Tali angoli hanno valore assoluto in seno e stesso stesso Cosinus.

Die Ultima Formel Vale von α ≠ tt2 + π k {\ style Anzeige \ alpha \ NEQ {\ frac {\ pi} {2}} k + \ pi} e α ≠ ± π 4 + π k {\ displaymath \ alpha \ NEQ \ pm {\ frac {\ pi} {4}} k + \ con pi} {k ∈ Z \ display k \ in \ mathbb {Z}} di linearità Formel [modifica | modifica wikitesto]

A = a 2 + b 2 {\ display A = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} {cos ⁡ φ = aa 2 + b 2 sin ⁡ φ = b 2 + b 2 { \ display {\ begin {Fälle} \ cos \ phi = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \\\ sin \ phi = {\ frac {b} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \ Fall end {}}} tan ⁡ φ = {ba \ display \ tan \ phi = {\ frac {b} {a}}}

a = c sin ⁡ γ ⇒ c = a ⋅ sin ⁡ γ {\ display a = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma} a = b cos ⁡ γ ⇒ B = a ⋅ cos ⁡ γ {\ display a = {\ frac {b} {\ cos \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma} cb = sin ⁡ γ cos ⁡ γ ⇒ c = b ⋅ tan ⁡ γ {\ display {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ sin \ gamma} {\ cos \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad c = b \ cdot \ tan \ gamma} bc = cos ⁡ γ sin ⁡ γ ⇒ b = c ⋅ cot ⁡ γ {\ display {\ frac {b} {c}} = {\ frac {\ cos \ gamma} {\ sin \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad b = c \ cdot \ Kosten \ gamma} a = b sin ⁡ β ⇒ b = a ⋅ sin ⁡ β {\ display a = {\ frac {b} {\ sin \ beta }} \ quad \ rightarrow \ quad b = a \ cdot \ sin \ beta} a = c cos ⁡ β ⇒ c = a ⋅ cos ⁡ β {\ display a = {\ frac {c} {\ cos \ beta}} \ quad \ rightarrow \ quad c = a \ cdot \ cos \ beta} bc = sin ⁡ β cos ⁡ β ⇒ b = c ⋅ tan ⁡ β {\ Display {\ frac {b} {c}} = {\ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ beta}} \ quad \ rightarrow \ quad b = c \ cdo t \ tan \ beta} cb = cos ⁡ β sin ⁡ β ⇒ c = b ⋅ cot ⁡ β {\ display {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}} \ quad \ rightarrow \ quad c = b \ cdot \ cot \ beta} Dimostrazione [bearbeiten | modifica wikitesto]

Wenn ein consideri triangolo RETTANGOLO A B C {\ display ABC} con angolo retto di vertice A {\ display A}. Detto C A {\ display CA die asse} x {\ display x}, sul vertice C {\ display C} if costruisce una Umfang raggio C P = 1 {\ display CP = 1}. Die koordinierte von punto P {\ display P} rappresentano es ⁡ γ cos {\ display \ cos \ gamma} e il sen ⁡ γ {\ display \ operator {sen} \ gamma} e poiché γ {\ display \ gamma} è acuto indicano reed rispettivamente die lunghezze dei cateti CH {\ display CH} PH e {\ display} PH.

γ {\ display \ gamma} in comune e gli angoli Retti di vertice A {\ display: Die Zahlen können mit Dreiecke ABC rettangoli {\ display ABC} e HPC {\ display HPC} Sono simili in quanto Hanno aufgrund angoli congruenti montiert werden H e A} {\} H Anzeigeart. Quindi è possibile costruire der Proporzione fra statt omologia dei due Triangoli Nachahmung (Opposition lati agli angoli congruenti)

a = c sin ⁡ γ ⇒ c = a ⋅ sin ⁡ γ {\ display a = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma} a = b cos ⁡ γ ⇒ B = a ⋅ cos ⁡ γ {\ display a = {\ frac {b} {\ cos \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma}

cb = sin ⁡ γ cos ⁡ γ ⇒ c = b ⋅ tan ⁡ γ {\ display {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ sin \ gamma} {\ cos \ gamma}} \ quad \ rightarrow \ quad c = b \ cdot \ tan \ gamma} bc = cos ⁡ γ sin ⁡ γ ⇒ b = c ⋅ cot ⁡ γ {\ display {\ frac {b} {c}} = {\ frac {\ cos \ gamma } {\ sin \ gamma}} quad \ Rechter \ quad b = c \ cdot \ cot \ gamma}

a = b sin ⁡ β ⇒ b = a ⋅ sin ⁡ β {\ display a = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} quad \ rightarrow \ quad b = a \ cdot \ sin \ beta} a = c cos ⁡ β ⇒ c = a ⋅ cos ⁡ β {\ display a = {\ frac {c} {\ cos \ beta}} \ quad \ rightarrow \ quad c = a \ cdot \ cos \ beta} bc = sin ⁡ β cos ⁡ β ⇒ b = c ⋅ tan ⁡ β {\ display {\ frac {b} {c}} = {\ frac {\ beta sin \} {\ cos \ beta}} \ quad \ rightarrow \ c quad B = \ cdot \ tan \ beta} cb = cos ⁡ β sin ⁡ β ⇒ c = b ⋅ cot ⁡ β {\ display {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = b \ cdot \ cot \ beta} die Anwendung der Regeln des rettangoli Dreiecke [modifica | modifica wikitesto] Calcolo dell’altezza di una torre [modifica | modifica wikitesto]