Die Chancen stehen gut – die New York Times bitcoin Kern herunterladen

Das ist, wie es für mich ist, wenn ich die Wahrscheinlichkeitstheorie lehren. Es war nie Teil meiner eigenen Ausbildung, so jetzt darüber zu belehren, die ist beängstigend und Spaß, in einem Vergnügungspark, Abenteuerhaus Art und Weise.

Vielleicht ist der Puls beschleunigende Thema von allen ist „bedingte Wahrscheinlichkeit“ – die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A der Fall ist, gegeben (oder „bedingte“ auf) das Auftreten eines anderen Ereignisses B. Es ist ein rutschiger Konzept, leicht mit der Wahrscheinlichkeit verschmelzt von B gegeben A. Sie nicht die gleichen sind, aber Sie haben zu konzentrieren, zu sehen, warum. Betrachten wir zum Beispiel das folgende Wort Problem.

Bevor ich in den Urlaub für eine Woche, fragen Sie Ihren spacigen Freund Ihre kränkelnden Pflanze Wasser. Ohne Wasser, hat die Pflanze eine 90-prozentige Chance zu sterben.


Auch mit dem richtigen Bewässerung, hat es eine 20-prozentige Chance zu sterben. Und die Wahrscheinlichkeit, dass Ihr Freund vergessen, es zu Wasser beträgt 30 Prozent. (A) Was ist die Chance, dass Ihre Anlage die Woche überleben? (B) Wenn es tot ist, wenn Sie zurückkommen, was ist die Chance, dass Ihr Freund es Wasser vergessen? (C) Wenn Ihr Freund es zu Wasser vergessen, was die Chance, es wird tot sein, wenn Sie zurückkommen?

Obwohl sie gleich klingen, (b) und (c) ist nicht die gleiche verdienen kostenlos bitcoins. In der Tat, sagt das Problem uns, dass die Antwort auf (c) 90 Prozent. Aber wie verbinden Sie alle Wahrscheinlichkeiten, die Antwort auf (b) zu bekommen? Oder ein)?

Natürlich sind die ersten Semestern ich dieses Thema gelehrt, steckte ich auf das Buch, Tippen entlang, auf Nummer sicher. Aber allmählich begann ich etwas bitcoin Wechselkurs uk zu bemerken. Einige meiner Studenten würden vermeiden „Bayes-Theorem“, die labyrinthische Formel ich sie lehrte. Stattdessen würden sie die Probleme, die durch eine viel einfachere Methode lösen.

Was diese findigen Studenten gehalten zu entdecken, Jahr für Jahr, war eine bessere Art und Weise über bedingte Wahrscheinlichkeit zu denken. Ihre Art und Weise verhält mit der menschlichen Intuition statt es Verwechselung. Der Trick ist, in Bezug auf den „Eigenfrequenzen“ denken – einfache Zählungen von Ereignissen – eher als die abstraktere Begriffe Prozent, Quoten, oder Wahrscheinlichkeiten. Sobald Sie diese mentale Verschiebung machen, hebt sich der Nebel.

Dies ist die zentrale Lehre der „kalkulierte Risiken“, ein faszinierendes Buch von Gerd Gigerenzer, kognitiver Psychologe am Max-Planck-Institut für Bildungsforschung in Berlin, wie man Kauf bitcoins. In einer Reihe von Studien über medizinische und rechtliche Fragen im Bereich von AIDS-Beratung für die Interpretation des genetischen Fingerabdrucks, erforscht Gigerenzer, wie die Menschen miscalculate Risiko und Unsicherheit. Doch statt schimpfen oder menschliche Gebrechlichkeit bemängelt, er sagt uns, wie es besser zu machen – wie „getrübtes Denken“ zu vermeiden, indem eine Neufassung bedingte Wahrscheinlichkeit Probleme in Bezug auf den Eigenfrequenzen, so wie meine Schüler taten.

In einer Studie Gigerenzer und seine Kollegen gefragt Ärzte in Deutschland und den Vereinigten Staaten, die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, dass eine Frau mit einer positiven Mammographie tatsächlich Brustkrebs hat, auch wenn sie in einer Gruppe mit geringem Risiko: 40 bis 50 Jahre alt, mit nein Symptome oder Familiengeschichte von Brustkrebs. Um die Frage spezifische zu machen, wurden die Ärzte sagen die folgenden Statistiken zu übernehmen – formuliert in Bezug auf den Prozentsatz und Wahrscheinlichkeiten – über die Prävalenz von Brustkrebs bei Frauen in diesen Kohorte, und auch über die Mammografie der Empfindlichkeit und die Rate der False Positives:

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine dieser Frauen, die Brustkrebs hat 0,8 Prozent. Wenn eine Frau Brustkrebs hat, ist die Wahrscheinlichkeit 90 Prozent, dass sie eine positive Mammografie haben. Wenn eine Frau nicht Brustkrebs hat, ist die Wahrscheinlichkeit, 7 Prozent, dass sie nach wie vor eine positive Mammografie haben. Stellen Sie sich eine Frau, die eine positive Mammografie hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Brustkrebs hat eigentlich?

„[Er] war sichtlich nervös bei dem Versuch, herauszufinden, was er der Frau sagen würde. Nachdem die Zahlen über grübelt, schätzte er schließlich die Wahrscheinlichkeit einer Frau von mit Brustkrebs gegeben, dass sie eine positive Mammografie hat, 90 Prozent. Nervös, fügte er hinzu: ‚Oh, was für einen Unsinn. Ich kann das nicht tun. Sie sollten meine Tochter testen; sie ist das Studium der Medizin.‘Er wusste, dass seine Schätzung falsch war, aber er wusste nicht, wie man besser an die Vernunft was Bitcoin Brieftasche zu verwenden. Trotz der Tatsache, dass er 10 Minuten verbracht hatte seinen Geist auf eine Antwort ringen, kann er nicht herausfinden, wie eine solide Folgerung aus den Wahrscheinlichkeiten zu ziehen.“

Wenn Gigerenzer 24 andere deutsche Ärzte die gleiche Frage gestellt, ihre Schätzungen von 1 Prozent bis 90 Prozent whipsawed. Acht von ihnen dachten, die Chancen waren 10 Prozent oder weniger, 8 mehr gesagt 90 Prozent, und die restlichen 8 vermutete irgendwo zwischen 50 und 80 Prozent. Stellen Sie sich vor, wie ärgerlich es als Patient wäre so unterschiedliche Meinungen zu hören.

Wie kann es so niedrig sein? Gigerenzer der Punkt ist, dass die Analyse fast durchsichtig wird, wenn wir die ursprünglichen Informationen aus Prozent- und Wahrscheinlichkeiten in Eigenfrequenzen übersetzen:

Acht von 1.000 Frauen haben Brustkrebs. Von diesen acht Frauen mit Brustkrebs, werden 7 eine positive Mammografie haben. Von den übrigen 992 Frauen, die keinen Brustkrebs haben, werden etwa 70 immer noch eine positive Mammografie bitcoin zentrale haben. Stellen Sie sich eine Probe von Frauen, die positiven Mammographien in Screening haben. Wie viele dieser Frauen haben tatsächlich Brustkrebs?

Da insgesamt 7 + 70 = 77 Frauen positive Mammogramme haben und nur 7 von ihnen wirklich Brustkrebs haben, ist eine positive Mammogramm angesichts der Wahrscheinlichkeit, Brustkrebs mit 7 von 77, der 1 in 11 ist, oder etwa 9 Prozent .

Beachten Sie zwei Vereinfachungen in der obigen Berechnung. Zuerst gerundet wir Dezimalzahlen auf ganze Zahlen ab. Das geschah in einigen Orten, wie wenn wir sagten: „Von diesen acht Frauen mit Brustkrebs, 7 wird eine positive Mammografie haben.“ Wirklich sollten wir gesagt haben 90 Prozent von 8 Frauen oder 7,2 Frauen, eine positive Mammografie haben. So opferten wir ein wenig Präzision für viel Klarheit.

Zweitens gingen wir davon aus, dass alles geschieht genau so häufig wie ihre Wahrscheinlichkeit vermuten läßt. Zum Beispiel, da die Wahrscheinlichkeit von Brustkrebs liegt bei 0,8 Prozent, genau 8 von 1.000 Frauen in unserem hypothetischen Beispiel, es haben angenommen wurden. In Wirklichkeit wäre dies nicht unbedingt wahr sein bitcoin asic USB. Dinge müssen ihre Wahrscheinlichkeiten nicht folgen; eine Münze blätterte 1.000 Mal nicht immer Köpfe 500 Mal nicht kommen. Aber so zu tun, dass es funktioniert gibt die richtige Antwort in Problemen wie diese.

Zwar ist die Logik ein wenig wackelig – deshalb die Lehrbücher in diesem Ansatz die Nase nach unten schauen, im Vergleich zu dem strengeren, aber schwer zu bedienende Satz von Bayes – aber die Gewinne in der Klarheit sind Rechtfertigung genug. Wenn Gigerenzer einen weiteren Satz von 24 Ärzten getestet, diesmal Eigenfrequenzen verwenden, fast alle von ihnen haben die richtige Antwort, oder nahe daran.

Obwohl Neuformulierung können die Daten in Bezug auf den Eigenfrequenzen ist eine große Hilfe, bedingte Wahrscheinlichkeit Probleme noch aus anderen Gründen verwirrend sein. Es ist einfach die falsche Frage zu stellen, oder eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, die korrekt, aber irreführend ist.

Die Staatsanwaltschaft verbrachte die ersten 10 Tage der Studie Hinweise darauf, dass die Einführung O. J. hatte eine Geschichte von Gewalt gegen seine Ex-Frau, Nicole. Er hatte angeschlagenen angeblich ihr, sie gegen Wände geworfen und tastete sie in der Öffentlichkeit, sagen Zuschauern: „Das gehört mir.“ Aber was hat irgendetwas davon mit einem Mordprozess zu tun haben? Die Argumentation der Anklage war, dass ein Muster von Gewalt in der Ehe ein Motiv reflektierte zu töten bitcoin Live-Chat. Als einer der Ankläger es ausdrückte, „ist ein Schlag in ein Vorspiel zu ermorden.“

Alan Dershowitz konterte für die Verteidigung, mit dem Argument, dass selbst wenn die Vorwürfe von häuslicher Gewalt wahr waren, waren sie nicht relevant und sollten daher unzulässig. Er schrieb später: „Wir wussten, dass wir konnten beweisen, wenn wir hatten, dass ein unendlich kleiner Prozentsatz – sicherlich weniger als 1 von 2500 -. Männer, die schlagen oder schlagen ihre inländischen Partner gehen auf sie zu ermorden“

Tatsächlich fragen beide Seiten die Jury um die Wahrscheinlichkeit zu berücksichtigen, dass ein Mann seine Ex-Frau ermordet, da er misshandelte sie vorher. Aber wie die Statistiker I. wies J. Gut aus, das ist nicht die richtige Zahl zu betrachten.

Die eigentliche Frage ist: Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann seine Ex-Frau ermordet, da er sie zuvor geschlagen und sie wurde von jemandem ermordet? Die bedingte Wahrscheinlichkeit stellt sich heraus von 1 in 2500 sehr weit zu sein.

Um zu sehen, warum stellen Sie sich eine Probe von 100.000 geschlagene Frauen. Gewähren von Dershowitz Zahl von 1 in 2500 erwarten wir, dass etwa 40 dieser Frauen von ihren Peinigern in einem bestimmten Jahr ermordet werden (seit 100.000 dividiert durch 2500 gleich 40). Wir können schätzen, dass eine zusätzliche 5 dieser geschlagene Frauen, im Durchschnitt wird von jemand anderem getötet werden, weil die Mordrate für alle Frauen in den Vereinigten Staaten zum Zeitpunkt der Studie etwa 1 in 20.000 pro Jahr. So aus den 40 + 5 = 45 Mordopfern insgesamt, 40 von ihnen wurden von ihren batterer getötet. Mit anderen Worten waren die batterer die Mörder etwa 90 Prozent der Zeit.

Sie diese Nummer nicht mit der Wahrscheinlichkeit verwirren, dass O. J. erledigt. Diese Wahrscheinlichkeit würde auf eine Menge anderer Beweise angewiesen, pro und contra, wie die Behauptung der Verteidigung, dass die Polizei ihn eingerahmt, oder die Behauptung der Anklage, dass der Mörder und O. J. die gleiche Art von Schuhen, Handschuhen und DNA geteilt.

• Die Antwort auf einen Teil (a) des „kranken Pflanze“ Problem ist, 59 Prozent bitcoin Austausch Vol. Die Antwort auf einen Teil (b) beträgt 27/41 oder etwa 65,85 Prozent. Um diese Ergebnisse zu leiten, stellen 100 kränkelnde Pflanzen und herauszufinden, (im Durchschnitt), wie viele von ihnen bewässert bekommen oder nicht, und dann, wie viele von denen, gehen zu sterben oder nicht, auf der Grundlage der Informationen. Diese Frage erscheint, wenn auch mit etwas anderen Zahlen und Wortlauts als Problem 29 auf p. 84 von Ross Text.

Gut hatte eine interessante Karriere. Neben seinen vielen Beiträge zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Bayes-Statistik, half er dem Nazi-Enigma-Code während des Zweiten Weltkriegs zu brechen, und führte das futuristische Konzept jetzt bekannt als die „technologische Singularität.“

Hier • ist, wie Dershowitz berechnet zu haben scheint, dass weniger als 1 von 2.500 Tätern gehen auf ihre Partner zu ermorden, pro Jahr. Auf Seite 104 seines Buches „Die Staatsanwältin und der Cop“, zitiert er eine Schätzung, die im Jahr 1992, irgendwo zwischen 2,5 und 4 Millionen Frauen in den Vereinigten Staaten von ihren Männern zerschlagen wurden, von den Freunden und Ex-Freunde. Im selben Jahr, nach den FBI Polizeiliche Kriminalstatistik wurden 913 Frauen von ihren Männern ermordet, und 519 wurden durch ihre Freunde oder Ex-Freunde getötet. Dividieren der Gesamtzahl von 1.432 Tötungsdelikten von 2,5 Millionen Schläge ergibt 1 Mord pro 1.746 Schläge, während die höheren Schätzwert von 4 Millionen Schläge pro Jahr ergibt 1 Mord pro 2.793 Schläge verwenden. Dershowitz wählte offenbar 2500 als runde Zahl in zwischen diesen beiden Extremen.

Unklar ist, ist, welcher Anteil der ermordeten Frauen waren zuvor von diesen Männern geschlagen worden. Es scheint, dass Dershowitz war die Annahme, dass fast alle Opfer geschlagen wurden, vermutlich um den Punkt zu machen, dass selbst wenn die Rate auf diese Weise überschätzt wird, ist es immer noch „unendlich klein.“

• Gute geschätzte Mordrate von 1 pro 20.000 Frauen pro Jahr umfasst geschlagene Frauen, so war es nicht ganz korrekt zu übernehmen (wie er es tat, und wie wir oben getan haben), dass 5 Frauen von 100.000 würden von jemandem anderen als der batterer getötet werden . Aber für diese Korrektur ändert nichts an der Schlussfolgerung deutlich, wie die folgende Berechnung zeigt.

Nach der FBI Polizeiliche Kriminalstatistik wurden 4936 Frauen im Jahr 1992 ermordet Tapferkeit tun bitcoin em real. Von diesen Mordopfern, 1432 (etwa 29 Prozent) wurden von ihren Ehemännern oder Freunden getötet. Die restlichen 3.504 wurden von jemand anderem getötet. Daher bedenkt, dass die Gesamtbevölkerung der Frauen in den Vereinigten Staaten zu dieser Zeit etwa 125 Millionen, die Rate, mit den Frauen, die von einer anderen Person als ihre Partner ermordet wurden, wurde 3.504 geteilt durch 125 Millionen oder 1 Mord pro 35.673 Frauen pro Jahr.

Nehmen wir an, dass diese Rate des Mordes durch Nicht-Partnern die gleichen für alle Frauen war, zerschlagen oder nicht. Dann in unserem hypothetischen Beispiel von 100.000 geschlagene Frauen, würden wir etwa 100.000 erwarten von 35.673 geteilt oder 2,8 Frauen von jemandem getötet werden, um andere als ihre Partner Bitcoin Euro. Obwohl 2,8 kleiner als der 5, was gut ist und wir davon ausgegangen, oben, ist es nicht so wichtig, weil beide so klein sind, im Vergleich zu 40, die geschätzte Zahl der Fälle, in denen die batterer der Mörder ist. Mit dieser Modifikation unserer neue Schätzung der Wahrscheinlichkeit, dass der batterer der Mörder ist, würde 40 geteilt durch (40 + 2,8) oder etwa 93 Prozent.

in 25.000, nicht 1: 20.000 als gut angenommener Ein verwandtes Wortklauberei ist, dass die FBI-Statistiken und Bevölkerungsdaten oben angegebenen implizieren, dass die Mordrate für Frauen im Jahr 1992 auf 1 näher war. Wenn er diesen Satz in seiner Berechnung verwendet hatte, schätzungsweise 4 Frauen pro 100.000, nicht 5, wurde von jemandem anderen als der Partner ermordet würde. Dies würde aber immer noch nicht die grundlegende Botschaft beeinflussen – jetzt die batterer wären der Mörder 40-mal aus 40 + 4 = 44 oder 91 Prozent der Zeit.

Einige Jahre • Nach dem Urteil wurde in dem Simpson Fall, Alan Dershowitz und der Mathematiker John Allen Paulos engagierte in einem beheizten Austausch von Briefen an den Herausgeber der New York Times weitergegeben. Die Frage war, ob Hinweise auf eine Geschichte von Gewalt in der Ehe sollte im Lichte der Wahrscheinlichkeits Argumente als relevant für einen Mordprozess angesehen werden, ähnlich den in diesem Beitrag diskutiert. Dershowitz Brief an den Herausgeber und Paulos Antwort machen für lebendige Lesung.

Steven Strogatz ist der Schurman Professor für angewandte Mathematik an der Cornell University. Zu seinen Ehren am höchsten sind Lehrpreis des MIT, die Mitgliedschaft in der American Academy of Arts and Sciences und ein Lebenswerk ausgezeichnet für die Kommunikation der Mathematik an die breite Öffentlichkeit, die von den vier großen amerikanischen mathematischen Gesellschaften verliehen. Ein häufiger Gast im National Public Radios „Radiolab“, sagte er der Autor ist in jüngster Zeit von „The Joy of x“, die aus seiner vorherigen Opinionator Serie „The Elements of Math.“ Wuchsen Er lebt mit seiner Frau und zwei Töchtern in Ithaca, NY ihn auf Twitter @stevenstrogatz Folgen